Выражение "тихой сапой" пошло от выражения "ползти по-сапёрски" (похоже ползают пластуны).
То есть, сапёр, ползущий по траве, чернозёму, суглинку (чтобы подорвать какой-нибудь объект), и при этом елозящий по всему этому своими голодными чреслами, получает тот самый вид удовольствия, который называется "тихая сапа".